第二章 感知机

这一个系列是深度学习入门-基于Python的理论与实现的学习记录。看之前的文章，就知道开的新坑实在是太多了。刚好现在是寒假，有比较完整的时间，所以想着用这一段时间做些事情。

暂时是这么安排的，对于学习的过程，一方面写文章，一方面做视频，不清楚做这些的时间成本怎么样，先试试看。

买过各种各样的机器学习的书了，这次打算从底层好好的过一遍。不管是原理还是实现都尽可能贴近原理。

这里是本书的第二章。由于第一章是Python的入门知识，在这里就不需要再赘述了。Dirac

2.1 感知机的概念

感知机(Perceptron),是由美国学者Frank Rosenblatt在1975年提出。感知机是作为神经网络起源的算法，因此对感知机的学习是后续内容的开始。

感知机，顾名思义是感知，英文perceptron，来源于percept，代表认知，认识。所以在这里，感知机接收多个信号，这个信号是流动的，类似于电流或水流。一般来说，0代表不传递，1代表传递，也就是常见的0代表关，1代表开。 下图就是一个例子。

这个结构的图大家应该不会陌生，多少接触过机器学习的人应该都看过，但是应该注意的是他和神经网络中的内容有一些不同。在这里能看见是一个接收两个输入信号的感知机。$x_1$,$x_2$是输入信号，$y$是输出信号，$\omega_1$,$\omega_2$代表权重。图中的圆圈叫做神经元或节点。运算的规则是输入信号被送往神经元时，会分别乘以固定的权重，神经元会计算传递过来的信号的总和，当大于某一个值时，会输出1，这叫做**神经元被激活**，这个值被称为阈值。用符号$\theta$表示。用公式表示如下：

这个公式非常简单，权重的大小代表信号的重要性，权重越大越重要。

2.2 简单逻辑电路

2.2.1 与门

学习了基本的概念，现在我们希望去做点什么，解决一点实际的问题。首先我们看一下与门的实现。首先简单说一下什么是与门，已经明白的读者可以跳过这个部分。总结一句话，与门是只有当两个输入信号都是1的时候，输出为1，否则输出为0。下面直接放出真值表。

看完了与门的基本结构和感知机的原理，我们思考一下该如何实现。对真值表中的数值分别带入不等式。可得符合以下条件即可满足条件。

例如，$(\omega_1, \omega_2,\theta) = (1.0 , 1.0 , 1.0)或(0.5,0.5,0.8)$即可满足条件。这样的组合有无穷多个。

2.2.2 与非门和或门

与非门就是与门的非。直接看真值表：

还是一样的分析方法，只要满足如下条件即可：

例如，$(\omega_1, \omega_2,\theta) = (-1.0 , -1.0 , -1.0)或(-0.5,-0.5,-0.8)$即可满足条件。这样的组合有无穷多个。

或门总结一句话，或门是只有当两个输入信号都是0的时候，输出为0，否则输出为1。下面直是真值表：

按照之前的分析方法可得：

例如，$(\omega_1, \omega_2,\theta) = (1.0, 1.0 , 0.8)或(0.5, 0.5, 0.4)$即可满足条件。这样的组合依然有无穷多个。

以上的过程是一个认为决定参数的过程，我们预先知道了我们的目标，也就是我们对不同的逻辑电路做了定义，同时我们还知道了模型，也就是感知机模型，有了目标和模型，我们人工的计算了参数，得到了不同的符合条件的参数组合。这个确定参数的过程就是学习的过程。在机器学习中，人类确定了不同的模型，接着将确定参数的过程交给计算机，进而得到了最终的结果。

2.3 感知机的实现

2.3.1 简单实现

我们在理论上的到了模型，最终将变为code。 首先是与门的实现。

def AND(x1,x2):
	w1 =  0.5
	w2 = 0.5
	theta = 0.8
	if x1*w1 + x2*w2 <= theta:
		return 0
	else:
		return 1

接下来是与非门。

def NAND(x1,x2):
	w1 =  -0.5
	w2 = -0.5
	theta = -0.8
	if x1*w1 + x2*w2 <= theta:
		return 0
	else:
		return 1

最后是或门。

def NAND(x1,x2):
	w1 =  1.0
	w2 = 1.0
	theta = 0.8
	if x1*w1 + x2*w2 <= theta:
		return 0
	else:
		return 1

2.3.2 导入权重和偏置

首先我们将感知机模型的公式做一个变形。将$\theta$变为$b$并移到等式左边。

上面是一个等价变换。在这里，我们将$b$称为偏置<\font>，将$\omega_1$和$\omega_2$称为权重。换言之就是信号与权重的乘积和加上偏置看是否大于0，是则输出1，否则为0。

2.3.3 加上偏置和权重的实现

与门的实现方式几乎一样。做了一点小小的改动。

def AND(x1,x2):
	x =  np.array([x1,x2])
	w = np.array([0.5,0.5])
	b = -0.8
	tmp  = np.sum(w*x)+b
	if tmp <= 0:
		return 0
	else:
		return 1

权重衡量了不同输入信号的重要程度，而偏置则代表了神经元被激活的容易程度。

接下来实现与非门：

def AND(x1,x2):
	x =  np.array([x1,x2])
	w = np.array([-0.5,-0.5])
	b = 0.8
	tmp  = np.sum(w*x)+b
	if tmp <= 0:
		return 0
	else:
		return 1

最后是或门

def AND(x1,x2):
	x =  np.array([x1,x2])
	w = np.array([0.5,0.5])
	b = -0.3
	tmp  = np.sum(w*x)+b
	if tmp <= 0:
		return 0
	else:
		return 1

综上，上述结构仅仅是调整参数的不同即可实现。

2.4 感知机的局限性

我们知道逻辑电路的种类很多，以上三种仅仅是一部分，那么我们尝试一下其他的逻辑电路，例如异或门，他的特点是输入信号不同是为1，其余为0。真值表如下

根据真值表我们进行分析得到的参数满足的条件结果如下：

通过观察这个等式不难发现，其中有很多问题，$b+\omega_1 > 0$与$b + \omega_2 > 0$可以得到$2b+\omega_1 + \omega_2 > 0$,但是$b+\omega_1 + \omega_2 \leqslant 0$，那么我们就能得到b一定是大于0的，那么和之前的条件$b \leqslant 0$是相背离的，所以出现了一个问题，我们找不到一组参数可以根据感知器的模型模拟一个异或门。

我们可视化一下刚才的所有内容。 例如，$(b, \omega_1,\omega_2) = (-0.5, 1.0 , 1.0)$,下图中的直线就成功的分割了四个点。三角形和圆形被分割开来。

但是对于异或门的情况，是以下图片。是没有办法找到一个直线进行分割的。

这就从另一个侧面说明，使用现有的感知机模型，异或门是没有办法实现的。

2.4.2 线性和非线性

综上，感知机模型是一个线性模型，可以解决一些问题，但对于另外一类非线性问题，就显得束手无策。像之前异或问题，智能找到一条曲线分开两类点，这就是非线性问题。

2.5 多层感知机

以上讲解的是感知机的不足，那这个不足该怎样解决。在实际使用的时候，感知机不是单独使用的，它可以通过叠加形式来表示。

2.5.1 已有门电路的组合

异或门的制作方法很多，在数电中我们学习此内容，一个异或门可以由与门，与非门和或门组合而成。结构如下。

对照着图中的结构，得到真值表如下

2.5.2 异或门的实现

实现就是用代码实现上述模型。

def XOR(x1,x2):
    s1 = NAND(x1,x2)
    s2 = OR(x1,x2)
    y = AND(s1,s2)
    return y

异或门就这么完成了，NAND，AND和OR都可以通过线性的感知机模型完成，将他们组合在一起，就完成了异或的实现。转换成感知机模型如下图所示。

如上图所示，异或门是一个多层结构的神经网络。最左边的称为第0层，中间的一列称为第1层，最右边的一列称为第2层。和之前实现的几个门的结构不同，这里叠加了很多层，因此称为多层感知机(multi-layer perceptron)

2.6 从与非门到计算机

多层感知机能做的还不止这些。比如加法器也可以用感知机实现，将二进制转化为十进制的编码器等等也可以用感知机表示。总的来说，通过简单的与非门组合就能实现很复杂的计算过程，甚至构建计算机。

2.7 本章小结

• 感知机是具有输入和输出的算法。给定一个输入后，讲述出一个既定的值。
• 感知机将权重和偏置设为参数。
• 使用感知机可以表示与门和或门等逻辑电路。
• 异或门无法通过单一感知机实现。
• 使用二层感知机可以实现异或门。
• 单层感知机只能表示线性空间，多层感知机可以表示非线性空间。
• 多层感知机（理论上）可以表示计算机。